Solutions de l'équation radiale de Schrodinger pour quelques potentiels dépendant de l'énergie : application de la supersymétrie quantique

Abstract

En mécanique quantique non relativiste, les équations d'onde liées aux potentiels dépendant de l'énergie sont non linéaires et obéissent à des nouvelles règles quantiques. Ces transformations sont dues aux modifications engendrées par l'équation de continuité qui entraine de nouvelles formes à la probabilité de densité et au produit scalaire. Dans ce travail de thèse, notre intérêt est porté sur la résolution analytique de l'équation de Schr?dinger régie par ce type de potentiels. Pour ce faire, nous avons fait appel à la méthode de la supersymétrie quantique (SUSY-QM) étendant son principe de factorisation, la hiérarchie des Hamiltoniens isospectraux ainsi que la propriété de l'invariance de forme aux potentiels dépendant de l'énergie. Comme première application, nous avons étudié le potentiel de Kratzer dépendant linéairement de l'énergie en utilisant simultanément le formalisme de la SUSY-QM étendue ainsi que celui de l'itération asymptotique (AIM) pour comparaison. ? travers cette étude, nous avons calculé l'expression générale du spectre d'énergie des états ?nl ?. Les résultats analytiques exacts et identiques obtenus par ces deux méthodes ont permis de tester avec succès la validité de la méthode SUSY-QM dont les solutions sont générées par construction après application de la propriété de l'invariance de forme. Une autre étude comparative a été effectuée par la résolution numérique exacte de l'équation de Schr?dinger qui a conduit à un comportement analogue du spectre d'énergie Enl en fonction du paramètre ? lié au terme de la dépendance en énergie. Dans la deuxième application, nous avons traité le potentiel de Morse dépendant linéairement de l'énergie. Dans ce cas, outre la méthode SUSY-QM, nous avons utilisé un autre formalisme dit l'analyse fonctionnelle de Nikiforov-Uvarov (NUAF) à titre comparatif. Pour ce potentiel, la résolution analytique de l'équation d'onde est approchée contrairement au potentiel de Kratzer. Les valeurs propres d'énergie rovibrationnelle sont calculées en appliquant la propriété de l'invariance de forme supersymétrique associée à l'approximation de Pekeris du terme centrifuge. ? la fin de ce travail, nous avons procédé à des applications aux molécules diatomiques en utilisant l'expression analytique du spectre d'énergie Enl dans le cas du potentiel de Morse dépendant de l'énergie. Cependant, comme l'expression de ce dernier est en fonction des paramètres spectroscopiques 'De' et 'a' qui représentent, respectivement, l'énergie de dissociation spectroscopique et la portée du potentiel, nous avons été amenés à déterminer d'abord ces deux paramètres moléculaires. Un autre point concernant la forme de la courbe du potentiel de Morse dépendant de l'énergie, a été également vérifié. Cette courbe a été comparée à la forme du potentiel de Morse standard et aux données expérimentales de Rydberg Klein Rees (RKR) dans le cas de l'état fondamental des deux molécules diatomiques N2 et O2. La solubilité du modèle général proposé et la compatibilité du potentiel dépendant de l'énergie avec les courbes RKR représentent des éléments clés quant à l'applicabilité de notre modèle aux molécules diatomiques. En effet, le calcul du spectre d'énergie Enl pour les quatre molécules diatomiques N2, O2, Li2 et HF a montré la commodité du procédé de calcul de la SUSY-QM qui fournit un formalisme complet dont les critères du coût et de fiabilité sont des éléments attractifs par rapport à d'autres méthodes de résolution. Ceci confirme aussi bien la flexibilité et l'efficacité de l'outil mathématique de l'invariance de forme supersymétrique associée à l'approximation de Pekeris