Contribution du calcul fractionnaire ‡ la thÈorie analytique des nombres ìla fonction zÍta de Riemann et la fonction Íta de Dirichletî

Abstract

Nous avons entamÈ notre mÈmoire par une Ètude bibliographique qui a englobÈ les notions de base du calcul fractionnaire et les fonctions spÈciales. Au premier chapitre, nous avons donnÈ un aperÁu du calcul fractionnaire. On a introduit trois approches des dÈrivÈes fractionnaires (líapproche de Riemann Liouville, de GrunwaldLetnikov et celle de Ortigiera-Caputo) ainsi que leurs propriÈtÈs, puis nous avons prÈsentÈ quelques fonctions spÈciales. Ensuite au second chapitre, les outils liÈs ‡ la fonction zÍta ont ÈtÈ introduits. on a prÈsentÈ une Ètude de la fonction zÍta de Riemann en tant que fonction a variable complexe, ainsi que certaines de ses consÈquences. Le dernier chapitre, objet de notre contribution, porte sur líapplication et líadaptation de ces outils ‡ líÈtude de problËme de líhypothËse de Riemann fractionnaire, nous avons ÈtudiÈ les fonctions zÍta de Riemann et Íta de Dirichlet avec certaines dÈrivÈes fractionnaires. Nos rÈsultats peuvent Ítre vus comme analogues ‡ ceux obtenus dans les articles [4, 3]. Ce travail est un initiation ‡ un travail qui vise ‡ Ètudier les fonctions de type de zÍta de Riemann avec des dÈrivÈes fractionnaires qui est nouveau et níest pas ÈtÈ traitÈ avant. Il reste beaucoup ‡ faire avec le calcul fractionnaire dans les domaines de la thÈorie des tombres, des fonctions de variables complexes (fonctions de Weierstrass, fonctions elliptiques), des courbes Elliptiques (sur les corps Önis, sur les corps locaux, invariants , etc....).