Contribution à l'étude de l'équation de schrodinger avec un potentiel complexe : cas particulier des potentiels PT-symétriques

Abstract

L'étude des potentiels complexes en mécanique quantique est d'un grand intérêt du fait qu'ils entrent dans la description théorique de plusieurs phénomènes physiques. Une classe spéciale de ces potentiels, à savoir, les potentiels complexes PT-symétriques, présente une propriété très intéressante qui est la réalité du spectre d'énergie. Il a été conjecturé que cette propriété est une conséquence directe de l'invariance de ces potentiels sous l'application simultanée de l'opérateur de parité P et de l'opérateur de renversement du temps T. La présente thèse est consacrée à l'étude de l'équation de Schr?dinger pour ce type de potentiels. Dans ce cadre, nous avons développé une approche originale et e?cace de résolution basée sur l'intégration numérique de cette équation. Nous avons ainsi établi des critères de quanti?cation relatifs à ce type de potentiels, lesquels nous permettent de sélectionner les énergies et les états propres du système étudié. Ces critères ont été déterminés en considérant essentiellement la parité de la fonction d'onde. Cette approche a été testée sur cinq exemples de potentiels complexes PT-symétriques. Les quatre premiers exemples ont été choisis de manière que leurs spectres d'énergie soient déjà déterminés dans d'autres travaux. Ceci a?n de faire une comparaison permettant de véri?er l'e?cacité de notre méthode. Nous sommes ainsi parvenus à reproduire les valeurs d'énergie publiées dans d'autres travaux avec une erreur toujours meilleures que 1%. Dans le cinquième exemple, qui porte sur le potentiel de l'oscillateur anharmonique complexe PT-symétrique, nous avons appliqué une résolution approchée en utilisant la méthode variationnelle, d'une part, et la théorie des perturbations indépendantes du temps, d'autre part. Les résultats issus de ces deux méthodes approximatives sont été comparés à ceux obtenus en appliquant la méthode proposée dans ce travail. De même que pour les exemples tests, nos résultats ont été très satisfaisants dans ce cas aussi. A travers l'étude de ces cinq exemples, nous pouvons conclure à l'e?cacité de notre approche et de la valider pour qu'elle soit adaptée à tous les potentiels complexes PT-symétriques